Wybourne の Schur で Un → Un-1 計算二通り

ユニタリー群のブランチング計算をしてみます

$U_n\rightarrow U_{n-1}$ の branching は、skew Young 図を用いれば $\{\lambda/M\}$ で求められます。一方 Plethysm を用いると $U_n\rightarrow U_{n-1}$ に対して $\{1\}\rightarrow \{1\}+\{0\}$ なので $(\{1\}+\{0\})\otimes\{\lambda\}$ とも表わされます。

証明

$\begin{align} \{\lambda\}&\rightarrow (\{1\}+\{0\})\otimes\{\lambda\} \\ &\sum_\zeta(\{1\}\otimes\{\lambda/\zeta\})\cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\}) \\ &=\sum_m\{\lambda/\{m\}\} \\ &=\{\lambda/M\} \end{align}$
ここで、
$\{1\}\otimes\{\lambda\}=\{\lambda\}$ 、
$\{0\}\otimes\{\zeta\}=\begin{cases} 1 & ( \{\zeta\}=\{0\}, \{1\}, \{2\}, \cdots) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$
を用いました。

プログラム

例として Schur のプログラム機能を用いて、 $U(8)\rightarrow U(7)$ の場合について、 Plethysm による方法を計算して、skew Young 図による方法と比較してみます。

$\{\lambda\}\rightarrow\sum_\zeta(\{1\}\otimes\{\lambda/\zeta\})\cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\})$

gr u8
enter rv1
dim [rv1]
gr 4 u8 u8 u8 u8
rule [1*rv1*0*0] sum sk 2 eq 4
cont 3, 4        pl last
cont 1, 2        pl last 
sup false
gr u7
cont 1, 2        o  last
dim last
stop

Classical Groups for Physicists

作者:Wybourne, Brian G.
発売日: 1974/03/01
メディア: ハードカバー

Symmetry Principles and Atomic Spectroscopy

作者:Wybourne, Brian G.
発売日: 1970/09/01
メディア: ハードカバー

The Theory of Group Representations (Phoenix Edition)

作者:Murnaghan, Francis D.
発売日: 2005/09/14
メディア: ハードカバー

The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing)

作者:Littlewood, Dudley E.
発売日: 2006/03/21
メディア: ハードカバー

計算結果

Plethysm による方法

DP> readfn 1 'unun1.fn'
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv10
Dimension = 1
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{0}
Dimension = 1

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv11
Dimension = 8
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{1} + {0}
Dimension = 8

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv12
Dimension = 36
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{2} + {1} + {0}
Dimension = 36
DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv13
Dimension = 120
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{3} + {2} + {1} + {0}
Dimension = 120

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv121
Dimension = 168
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{21} + {2} + {1^2} + {1}
Dimension = 168

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv14331
Dimension = 199584
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3} + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}
Dimension = 199584
DP>

skew Young 図を用いた計算

DP> sfn
Schur Function Mode
SFN> sk 0, m
{0}
SFN> sk 1, m
{1} + {0}
SFN> sk 2, m
{2} + {1} + {0}
SFN> sk 3, m
{3} + {2} + {1} + {0}
SFN> sk 21, m
{21} + {2} + {1^2} + {1}
SFN> sk 43^21, m
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3} + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}
SFN>

同じ結果が求まっています。

素直に Plethysm 計算をした場合

SFN> pl 0+1,1
{1} + {0}
SFN> pl 0+1,2
{2} + {1} + {0}
SFN> pl 0+1,3
{3} + {2} + {1} + {0}
SFN> pl 0+1,21
{21} + {2} + {1^2} + {1}
SFN> pl 0+1,43^21
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3}
 + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}