Schur マニュアルの問題を解く　その６

7.4 Exercise

Establish the following character table for the Hecke algebra $H_4(q)$ of type $A_3$ and show that if $q\rightarrow1$ the character table for the symmetric group $S_4$ is recovered:

f:id:fortran66:20171213015650p:plain

よく分からないが、操作としては下記かｗ

各類毎に結果が表の縦方向に出る。ソートするために swap してみた。

(1^4) : {4}+3{31}+2{2^2}+3{21^2}+{1^4}
(21^2) : q{4}+(2q-1){31}+(q-1){2^2}+(q-2){21^2}-{1^4}
(2^2) : q^2(4)+(q^2-2q){31}+(q^2+1){2^2}+(-2q+1){21^2}+{1^4}
(31) : q^2(4)+(q^2-q){31}-q{2^2}+(-q+1){21^2}+{1^4}
(4) : q^3(4)-q^2{31}+q{21^2}-{1^4}

マニュアルのテーブルと少し値が異なるが（χ^(2^2)_{21^1}, χ^(4)_{31}）、本来は q=1 の極限で普通の S(4) の指標に戻るはずであるから、たぶんマニュアルの間違いだろう。

DP> gr 2 u1 u4
Groups are U(1) * U(4)
DP> setv 1 [0*1]                                                                             
DP> setv 2 [1*2]-[0*1^2]                                                                             
DP> setv 3 [2*3]-[1*21]+[0*1^3]                                                                             
DP> setv 4 [3*4]-[2*31]+[1*21^2]-[0*1^4]                                                                             

DP> setv 11 p p p v1, v1, v1, v1                                                                                     
DP> setv 12 p p v2, v1, v1
DP> setv 13 p v2, v2
DP> setv 14 p v3, v1
DP> setv 15   v4

DP> swap 1,2 v11
Groups are U(4) * U(1)
{4}{0} + 3{31}{0} + 2{2^2}{0} + 3{21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v12
Groups are U(1) * U(4)
{4}{1} + 2{31}{1} - {31}{0} + {2^2}{1} - {2^2}{0} + {21^2}{1} - 2{21^2}{0} - {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v13
Groups are U(4) * U(1)
{4}{2} + {31}{2} - 2{31}{1} + {2^2}{2} + {2^2}{0} - 2{21^2}{1} + {21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v14
Groups are U(1) * U(4)
{4}{2} + {31}{2} - {31}{1} - {2^2}{1} - {21^2}{1} + {21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v15
Groups are U(4) * U(1)
{4}{3} - {31}{2} + {21^2}{1} - {1^4}{0}
DP>

7.5 The Final Test

問１

1. Use SCHUR to conrm the following three results in reduced notation:-
$< 2 > = < 1 >^2-< 1^2 >-< 1 >-< 0 >$
$< 21 > = < 1^2 >< 1 >-< 1^3 >-< 1 >^2 + < 0 >$
$< 3 > = < 1 >^3 + < 1^3 >-2< 1^2 >< 1 >-< 1 >^2 + < 0 >$

reduced expression を用いて

以下の展開より<1><1>=<2>+<1^2>+<1>+<0>
移項して<2>についてまとめると<2>=<1><1>-<1^2>-<1>-<0>
同様に<1^2><1>=<21> + <2> + <1^3> + <1^2> + <1>
=<21>+(<1><1>-<1^2>-<1>-<0>)+ <1^3> + <1^2> + <1>
=<21>+<1><1>-<0>+<1^3>
移項して <21>=<1^2><1>-<1^3>-<1><1>+<0>
また<1><1><1>=<3>+ 2<21> + 3<2> + <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>
　　　　　 =<3>+2(<1^2><1>-<1^3>-<1><1>+<0>)+3(<1><1>-<1^2>-<1>-<0>)+ <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>
=<3>+2<1^2><1>-<1^3>+<1><1>+<1> 　　　　　　　　　　　
より<3>=<1><1><1>+<1^3>-2<1^2><1>-<1><1>-<1>
（最後の項が-<0>ではなく-<1>となったが、たぶんマニュアルの間違い）

SFN> rd_i 1,1
<2> + <1^2> + <1> + <0>
SFN> rd_i 1^2, 1
<21> + <2> + <1^3> + <1^2> + <1>
SFN> rd_i rd_i 1, 1, 1
<3> + 2<21> + 3<2> + <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>

問２

2. Show that for the group $S_n$ the dimensions $f^{<\mu>}_n$ of the irreducible representations $< 2 >$ , $< 21 >$ and $< 3 >$ are as follows:-
$f^{<2>}_n = {n(n - 3)\over 2}\,\,\, (7.8)$
$f^{<21>}_n ={n(n - 2)(n - 4)\over 3}\,\,\, (7.9)$
$f^{<3>}_n = {n(n - 1)(n - 5)\over 6}\,\,\, (7.10)$

対称群の指標の一般式

今の場合、規約表現の多重度を求めるので類としては ρ = (1^n) だけを考えればいいので楽。 $f^{<2>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-2,2\}}_{(1^n)}$ , $f^{<3>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-3,3\}}_{(1^n)}$ , そして $f^{<21>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-3,2,1\}}_{(1^n)}$ となっている。

$\chi^{\{n-2,2\}}_{(1^n)}$ の場合、二変数を考えれば十分なので、フロベニウスの式より $S_{(1^n)}\bigtriangleup(x_1.x_2)=\sum_{\lambda}\pm\chi_{1^n}^{\lambda}x_1^{(n-2)+1}x_2^{2}$
の左辺の $x_1^nx_2$ の係数を見ればよい。ここで $\bigtriangleup(x_1.x_2)=x_1-x_2$ は vandermonde 行列式を表す。

左辺は $S_{(1^n)}=(x_1+x_2)^n$ なので $\chi_{1^n}^{\{n-2,2\}}=\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2$ 。

同様に $\chi^{\{n-3,3\}}_{(1^n)}$ の場合は、 $\chi_{1^n}^{\{n-3,3\}}=\left( \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)=n(n-1)(n-5)/6$ 。

また $\chi^{\{n-3,21\}}_{(1^n)}$ の場合は、 $x_1,x_2,x_3$ の 3 変数になるのでやや面倒だが、 $(x_1+x_2+x_3)^n\bigtriangleup(x_1.x_2,x_3)$ を展開して、 $x_1^{n-3}x_2^2x_3$ の項の係数を見ればよい。 $x_3^2$ 以上の項は捨てられる点に注意して、 $\chi_{1^n}^{\{n-3,2,1\}}={n!\over(n-3)!2!1!}-{n!\over(n-2)!1!1!}+{n!\over(n-1)!1}-{n!\over(n-3)!3!}$ を計算すればよい。