fortran66のブログ

fortran について書きます。

Schur マニュアルの問題を解く　その５

6.2 Tutorial 1

問１

1. Study the output produced successively from the following commands “sk21,p” , “sk last,q”
and ”sk sk21,p,q” and explain the final result.

  • skew Young tablau

定義により P\equiv1/\prod(1+\alpha_i)=\sum_{m=0}(-1)^m\{m\}, Q\equiv\prod(1+\alpha_i)=\sum_{m=0}\{1^m\} であるから PQ=1、 よって逆変換になっているから結果は自明。

REP> sfn
Schur Function Mode    
SFN> sk 21,p
{21} - {2} - {1^2} + {1}
SFN> sk last, q
{21}
SFN> sk sk 21,p,q
{21}
SFN>

\mathrm{sk}\, \lambda, P は、 M 型の級数に weight の偶奇性による位相因子が付いた形になっているので、U(n)→U(n-1) のブランチングに weight の偶奇性で符号が反転した位相が付いたものになる。

問２

2. Study the output produced successively from the following commands “i32,41”, “rd_i2,1” and
“makewt5,rd_i2,1”. Why is the output from the first and last command the same?

　

  • 内積の reduced expression

i32,41 は 5次対称群 S(5) における {32} と {41} の内積（指標の内積、外積は指標の直積）。
rd_i 2,1 は規約表現の末尾がそれぞれ 2 と 1 になるものの内積の reduced expression 。したがって、weight が５になるように補う命令 makewt により、５次の対称群の規約表現が 2,1 に対して作られるので、i32,41 と同じ結果が得られるのは当然。

SFN> i32,41
{41} + {32} + {31^2} + {2^2 1}
SFN> rd_i 2,1
<3> + <21> + <2> + <1^2> + <1>
SFN> makewt 5, rd_i 2,1
<41> + <32> + <31^2> + <2^2 1>
SFN>

問３

3. Consider the command sequence “wt4,o ser4,p,ser4,q”. Before entering the command what
output do you think will result? Now try it.

  • 有限長で打ち切った関数と逆関数のべき展開の積

当然１＝｛０｝になる。有限打ち切りの効果でカスが残ってしまうが、weight 4 命令で weight 4
より大きな項は捨てるので無問題。

SFN> wt4,o ser4,p,ser4,q
{0}
SFN>

問４

4. You want a list of all the partitions of all the integers up to n where n is not too large, say
n < 20. Show that the command “ser n,f” yields the desired result and that “countc ser20,f”
shows that the total number of partitions for n = 0,1,...,0 is 2715.

  • 整数の分割

p(0)~p(20) までの和は 2714 であり、Schur の結果も 2714 と出る。問題文が間違っている。
F は全分割の母関数になっているので、これを展開すればあらゆる分割が得られる。

SFN> ser 4,f
{4} + {31} + {3} + {2^2} + {21^2} + {21} + {2} + {1^4} + {1^3} + {1^2} + {1} + {0}
SFN> countc ser 20,f                                                                                                               
CoeffSum = 2714
SFN>

問５

5. Show that by issuing the command “countc wt-20ser20,f” there are 627 partitions of the integer
20. NB. On installations that are short on memory you might want to consider smaller
examples.

  • p(20)

ここでの計算は 20 の分割数 p(20) の計算と同じ。weight 20 の Young図を書き連ねて数えあげたようなもの。（但し Schur の内部的にはそういうドン臭いことはしていないらしいのだがｗ）

SFN> countc wt-20ser20,f
CoeffSum = 627
SFN>

問６

6. Show that the command sequence “wt-105,ser105,t” generates just one partition. Why?

  • T 母関数

T 母関数は、階段状の young 図に対応する分割を生成するので、n(n+1)/2 に合致する数の weight をもつものだけが許される。

SFN> wt-105,ser105,t
{14 13 12 11 10 987654321}

SFN> ser 105,t
{14 13 12 11 10 987654321} + {13 12 11 10 987654321} + {12 11 10 987654321} + {11 10 987654321} + {10 987654321} + {987654321}
 + {87654321} + {7654321} + {654321} + {54321} + {4321} + {321} + {21} + {1} + {0}
SFN> yo last
                                                                           
  OOOOOOOOOOOOOO   OOOOOOOOOOOOO   OOOOOOOOOOOO   OOOOOOOOOOO   OOOOOOOOOO 
  OOOOOOOOOOOOO    OOOOOOOOOOOO    OOOOOOOOOOO    OOOOOOOOOO    OOOOOOOOO  
  OOOOOOOOOOOO     OOOOOOOOOOO     OOOOOOOOOO     OOOOOOOOO     OOOOOOOO   
  OOOOOOOOOOO      OOOOOOOOOO      OOOOOOOOO      OOOOOOOO      OOOOOOO    
  OOOOOOOOOO       OOOOOOOOO       OOOOOOOO       OOOOOOO       OOOOOO     
  OOOOOOOOO        OOOOOOOO        OOOOOOO        OOOOOO        OOOOO      
  OOOOOOOO         OOOOOOO         OOOOOO         OOOOO         OOOO       
  OOOOOOO          OOOOOO          OOOOO          OOOO          OOO        
  OOOOOO           OOOOO           OOOO           OOO           OO         
  OOOOO            OOOO            OOO            OO            O          
  OOOO             OOO             OO             O                        
  OOO              OO              O                                       
  OO               O                                                       
  O                                                                        
                                                                           
                                                                           
  OOOOOOOOO   OOOOOOOO   OOOOOOO   OOOOOO   OOOOO   OOOO   OOO   OO   O   .
  OOOOOOOO    OOOOOOO    OOOOOO    OOOOO    OOOO    OOO    OO    O         
  OOOOOOO     OOOOOO     OOOOO     OOOO     OOO     OO     O               
  OOOOOO      OOOOO      OOOO      OOO      OO      O                      
  OOOOO       OOOO       OOO       OO       O                              
  OOOO        OOO        OO        O                                       
  OOO         OO         O                                                 
  OO          O                                                            
  O                                                                        
                                                                           

SFN>

問７

7. Try analysing the following command sequence
“wt4,pl,ser4,m,4”
and then try running it first as a single command and then try to reproduce the result by issuing
a sequence of three separate commands. The above sequence is actually relevant to a problem
involving the symplectic nuclear model.

  • plethysm

plethysm の日本語訳語は『重合』らしいのだが、対称性を加味した冪のイメージと全く合わない。

SFN> wt4,pl,ser4,m,4
5{4} + 2{31} + 3{3} + 2{2^2} + {21} + 2{2} + {1} + {0}
SFN> ser 4, m
{4} + {3} + {2} + {1} + {0}
SFN> pl last, 4
{16 } + {15 } + {14 2} + {14 1} + 2{14 } + {13 3} + 2{13 2} + 2{13 1} + 3{13 } + 2{12 4} + 3{12 3} + {12 2^2} + {12 21} + 5{12 2}
 + 4{12 1} + 5{12 } + {11 41} + 3{11 4} + {11 32} + 2{11 31} + 5{11 3} + 2{11 2^2} + 3{11 21} + 7{11 2} + {11 1^2} + 5{11 1}
 + 5{11 } + 2{10 6} + {10 51} + 3{10 5} + 2{10 42} + 4{10 41} + 8{10 4} + 3{10 32} + 5{10 31} + 10{10 3} + {10 2^3} + {10 2^2 1}
 + 5{10 2^2} + 6{10 21} + 12{10 2} + 2{10 1^2} + 8{10 1} + 7{10 } + {961} + 3{96} + {952} + 3{951} + 5{95} + {943} + {9421}
 + 5{942} + {941^2} + 8{941} + 11{94} + {93^2} + {9321} + 6{932} + {931^2} + 9{931} + 13{93} + {92^3} + 2{92^2 1} + 7{92^2}
 + {921^2} + 9{921} + 14{92} + 3{91^2} + 9{91} + 7{9} + {8^2} + {87} + 2{862} + 3{861} + 6{86} + {8521} + 4{852} + {851^2} + 6{851}
 + 8{85} + 2{84^2} + 3{843} + {842^2} + 3{8421} + 11{842} + 2{841^2} + 13{841} + 16{84} + {83^2} + {832^2} + 3{8321} + 10{832}
 + 2{831^2} + 12{831} + 16{83} + 2{82^3} + 4{82^2 1} + 11{82^2} + 2{821^2} + 12{821} + 17{82} + 3{81^2} + 10{81} + 8{8} + {7^2 1^2}
 + {7^2 1} + {763} + 3{762} + {761^2} + 5{761} + 6{76} + {7531} + 2{753} + 2{7521} + 6{752} + 3{751^2} + 9{751} + 8{75} + {74^2 1}
 + 3{74^2} + 2{7431} + 6{743} + {742^2} + 5{7421} + 14{742} + 5{741^2} + 17{741} + 16{74} + {73^2 1} + 3{73^2} + {732^2} + 4{7321}
 + 12{732} + 4{731^2} + 15{731} + 16{73} + 2{72^3} + 4{72^2 1} + 11{72^2} + 3{721^2} + 13{721} + 16{72} + {71^3} + 4{71^2} + 9{71}
 + 7{7} + {6^2 4} + 2{6^2 3} + {6^2 2^2} + {6^2 21} + 5{6^2 2} + 5{6^2 1} + 7{6^2} + {654} + {6531} + 3{653} + {652^2} + 3{6521}
 + 8{652} + 2{651^2} + 9{651} + 9{65} + {64^2 2} + 2{64^2 1} + 5{64^2} + {6432} + 3{6431} + 8{643} + 3{642^2} + 7{6421} + 17{642}
 + 4{641^2} + 17{641} + 17{64} + {63^2 1} + 3{63^2} + 2{632^2} + 5{6321} + 13{632} + 3{631^2} + 14{631} + 16{63} + 3{62^3}
 + 5{62^2 1} + 12{62^2} + 2{621^2} + 12{621} + 16{62} + 3{61^2} + 9{61} + 7{6} + {5^2 31} + {5^2 3} + 2{5^2 21} + 3{5^2 2}
 + 2{5^2 1^2} + 4{5^2 1} + 2{5^2} + {54^2 2} + 2{54^2 1} + 4{54^2} + {5432} + 3{5431} + 6{543} + 2{542^2} + 6{5421} + 12{542}
 + 4{541^2} + 12{541} + 10{54} + {53^2 1} + 2{53^2} + {532^2} + 4{5321} + 9{532} + 3{531^2} + 10{531} + 10{53} + 2{52^3}
 + 4{52^2 1} + 9{52^2} + 2{521^2} + 9{521} + 11{52} + 2{51^2} + 6{51} + 5{5} + {4^4} + {4^3 3} + 2{4^3 2} + 3{4^3 1} + 5{4^3}
 + {4^2 32} + 2{4^2 31} + 5{4^2 3} + 2{4^2 2^2} + 4{4^2 21} + 9{4^2 2} + 2{4^2 1^2} + 8{4^2 1} + 8{4^2} + {43^2} + {432^2}
 + 2{4321} + 6{432} + {431^2} + 6{431} + 8{43} + 2{42^3} + 3{42^2 1} + 7{42^2} + {421^2} + 6{421} + 9{42} + {41^2} + 5{41} + 5{4}
 + {3^2 2} + {3^2 1} + 2{3^2} + {32^3} + {32^2 1} + 3{32^2} + 2{321} + 4{32} + 2{31} + 3{3} + {2^4} + {2^3 1} + 2{2^3} + {2^2 1}
 + 2{2^2} + {21} + 2{2} + {1} + {0}
SFN> wt 4, last
5{4} + 2{31} + 3{3} + 2{2^2} + {21} + 2{2} + {1} + {0}
SFN>

問８

Just to remind ourselves that SCHUR handles lists of objects use SCHUR to calculate the
following: “o21+3,21+4”, “i21+3,21+4” and “pl21+3,21+4”. Think about the second result.

内積の場合、同じ対称群の中で演算が行われるので、weight が同じでなければならない。したがって、{4} はそもそも {21} や {3} と内積を取れない。

SFN> o21+3,21+4
{7} + 2{61} + 2{52} + {51^2} + {51} + {43} + {421} + 2{42} + 2{41^2} + {3^2} + 3{321} + {31^3} + {2^3} + {2^2 1^2}
SFN> i21+3,21+4
{3} + 2{21} + {1^3}
SFN> pl21+3,21+4
{12 } + {11 1} + 3{10 2} + {10 1^2} + 4{93} + 4{921} + {91^3} + 7{84} + 8{831} + 7{82^2} + 4{821^2} + {81^4} + 2{81} + 3{75}
 + 12{741} + 14{732} + 11{731^2} + 10{72^2 1} + 4{721^3} + 4{72} + {71^5} + 3{71^2} + 3{6^2} + 8{651} + 18{642} + 11{641^2}
 + 7{63^2} + 22{6321} + 9{631^3} + 5{63} + 12{62^3} + 9{62^2 1^2} + 4{621^4} + 10{621} + {61^6} + 3{61^3} + 5{5^2 2} + 7{5^2 1^2}
 + 10{543} + 22{5421} + 9{541^3} + 5{54} + 13{53^2 1} + 13{532^2} + 18{5321^2} + 5{531^4} + 12{531} + 10{52^3 1} + 5{52^2 1^3}
 + 7{52^2} + 2{521^5} + 9{521^2} + {51^7} + 2{51^4} + 4{4^3} + 7{4^2 31} + 10{4^2 2^2} + 9{4^2 21^2} + 4{4^2 1^4} + 5{4^2 1}
 + 6{43^2 2} + 8{43^2 1^2} + 10{432^2 1} + 7{4321^3} + 10{432} + 2{431^5} + 9{431^2} + 4{42^4} + 2{42^3 1^2} + {42^2 1^4}
 + 8{42^2 1} + 4{421^3} + {3^4} + 3{3^3 21} + {3^3 1^3} + {3^3} + {3^2 2^3} + 3{3^2 2^2 1^2} + 6{3^2 21} + 2{3^2 1^3} + 2{32^3}
 + 3{32^2 1^2} + {321^4} + {2^4 1}
SFN> 
SFN> i21+3,21+4
{3} + 2{21} + {1^3}
SFN> i21+3,21
{3} + 2{21} + {1^3}
SFN> i21+3,4
zero

SFN>