３次対称群 [21] の既約冪等

Mac 用の ChatGPT アプリが、バージョンアップを繰り返して、画面のスクリーンショットを撮って見れるようになったので試してみます。 iPhone で撮った写真を写真アプリで表示させ、その画面を読み取らせました。写真そのものも読み取れるので少し無駄な気もしますが、まぁ楽です。

Frobenius 代数で Young 図の [21] に相当する既約表現相当の冪等元を求めるために S3 の部分群である S2xS1 の冪等元の直積を求めて S3 で見た時の非対角項を考えて誘導表現にあたる 3x3 行列を作ります。しかし可約なのでうまくブロック対角化して既約表現での [3] + [21] 相当に直します。逆行列を求めたりするのは勝手知ったる大昔の Maple でやりました。

なお [111] で同じように誘導表現相当の行列を作ると群表相当物になります。群行列式と関係しています。

$\displaystyle{ S_3\sim S_2\times S_1 }$

この中から、消してあるところは無視して、行列ないし表を読み取ってください、次にTeXにしてください

（略）

計算紙がわりの習字の半紙に書いたので読み取り精度はひどくてイマイチでしたが、欲しい行列だけを読み取って、かったるい TeX の行列を作ってくれたので相当助かりました。なお規格化因子のようなものはうるさくなるだけなので略しました。

手作業修正後

行列 A :

$\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} I + (23) & (12) + (132) & (13) + (123) \\ (12) + (123) & I + (13) & (23) + (132) \\ (13) + (132) & (23) + (123) & I + (12) \end{pmatrix} }$

行列 B :

$\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} }$

逆行列 B^{-1} :

$\displaystyle{ B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{\sqrt{2}}{3} & -\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \end{pmatrix} }$

行列B^{-1}AB :

$\displaystyle{ B^{-1} A B = \begin{pmatrix} I + (12) + (13) + (23) + (123) + (132) & 0 & 0 \\ 0 & I + (12) - (13) - (132) & (23) - (13) - (132) + (123) \\ 0 & (23) - (12) - (123) + (132) & I - (12) + (13) - (123) \end{pmatrix} }$