【メモ帳】断片 - fortran66のブログ

包絡代数

BCH 定理証明のための断片

一般化多項式：交換則を仮定しない。

テンソル化演算子
$\delta(x)\equiv x\otimes1+1\otimes x$
$\delta(1)\equiv 1\otimes1$
$\delta(xy)\equiv \delta(x)\delta(y)$
$\delta(\sum a_n x^n)=\sum a_n (\delta(x))^n$

この時、
$\begin{align} \delta([x, y]) &=\delta(xy-yx)\\ &=\delta(x)\delta(y)-\delta(y)\delta(x)\\ &=(x\otimes1+1\otimes x)(y\otimes1+1\otimes y)-(y\otimes1+1\otimes y)(x\otimes1+1\otimes x)\\ &=(xy\otimes1+x\otimes y+y\otimes x+1\otimes xy)-(yx\otimes1+y\otimes x+x\otimes y+1\otimes yx)\\ &= (xy\otimes1 - yx\otimes1) + (1\otimes xy - 1\otimes yx)\\ &=(xy-yx)\otimes1 + 1\otimes(xy-yx)\\ &=[x,y]\otimes1+1\otimes[x,y]\\ \end{align}$

つまり、
$\delta([x, y]) =[x,y]\otimes1+1\otimes[x,y]$
が成り立っている。

また、
$\begin{align} \delta(x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m})&=(x_1\otimes1+1\otimes x_1)^{k_1}(x_2\otimes1+1\otimes x_2)^{k_2}\cdots(x_m\otimes1+1\otimes x_m)^{k_m}\\ &=x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}\otimes1+k_1x_1^{k_1-1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}\otimes x_1+\cdots k_mx_1^{k_1}x_2^{k_2}+\cdots x_m^{k_m-1}\otimes x_1+\cdots \\ \end{align}$
なので、
$\delta(x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m})=x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}\otimes1+1\otimes x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$
の形となるには、 $k_i=1, k_{j\neq i}=0$ のように１次の１項だけしか許されない。

これらの事から、テンソル化した一般化多項式は $\delta(X)\equiv X\otimes1+1\otimes X$ の形になるのならば Lie 代数の演算と同型なので、これを用いることで非可換・非結合代数を非可換・結合代数に置き換えて、楽に考えられるようになる。

log(exp(x)exp(y))

log, exp はべき級数展開が定義。
Log, Exp は引数がテンソル積であることを表す。

$\begin{align} \delta(\exp(x)\exp(y))&=\delta( (1+x+x^2/2!+\cdots)(1+y+y^2/2!+\cdots) )\\ &=(\delta(1)+\delta(x)+\delta(x)^2/2!+\cdots)(\delta(1)+\delta(y)+\delta(y)^2/2!+\cdots)\\ &=\mathrm{Exp}(\delta(x) )\mathrm{Exp}(\delta(y) )\\ &=\mathrm{Exp}(x\otimes1+1\otimes x )\mathrm{Exp}(y\otimes1+1\otimes y )\\ &=\mathrm{Exp}(x\otimes1)\mathrm{Exp}(1\otimes x)\mathrm{Exp}(y\otimes1)\mathrm{Exp}(1\otimes y)\\ &=(\exp(x)\otimes1)(1\otimes\exp(x) )(\exp(y)\otimes1)(1\otimes\exp(y) )\\ &=(\exp(x)\otimes1)(\exp(y)\otimes1)(1\otimes\exp(x) )(1\otimes\exp(y) )\\ &=(\exp(x)\exp(y)\otimes1)(1\otimes\exp(x)\exp(y) ) \end{align}$

ただし、
$\begin{align} \mathrm{Exp}(x\otimes1)&=1\otimes1+x\otimes1+(x\otimes1)^2/2!+\cdots\\ &=1\otimes1+x\otimes1+x^2\otimes1/2!+\cdots\\&=(1+x+x^2/2!+\cdots)\otimes1\\ &=\exp(x)\otimes1 \end{align}$
などが成り立つ。

ここで、
$(x\otimes1)(1\otimes x) = x\otimes x =(1\otimes x)(x\otimes1)$
のような交換関係を使っている。また交換関係が成り立つならべき展開の定義に
帰らなくても普通の関数のように扱える。

また、
$\begin{align} \delta\log(x)&=\delta\log(1+z)\\ &=\delta(z-z^2/2+z^3/3+\cdots)\\ &=(\delta(z)-\delta(z)^2/2+\delta(3)^3/3+\cdots)\\ &=(z\otimes1+1\otimes z)-(z\otimes1+1\otimes z)^2/2+(z\otimes1+1\otimes z)^3/3+\cdots\\ &=\mathrm{Log}(1\otimes1+z\otimes1+1\otimes z)\\ &=\mathrm{Log}(\delta(1+z) )\\ &=\mathrm{Log}(\delta(x) )\\ \end{align}$

よって、
$\begin{align} \delta\log(\exp(x)\exp(y) )&=\mathrm{Log}(\delta(\exp(x)\exp(y) ) )\\ &=\mathrm{Log}(\exp(x)\exp(y)\otimes1)(1\otimes\exp(x)\exp(y) )\\ &=\mathrm{Log}(\exp(x)\exp(y)\otimes1)+\mathrm{Log}(1\otimes\exp(x)\exp(y) )\\ &=\log(\exp(x)\exp(y) )\otimes1+1\otimes\log(\exp(x)\exp(y) ) \end{align}$