2017-12-29

分割数 p(200) 直接計算 (その２）

Hardy-Ramanujan-Rademacher の p(n) 計算式

追記：補足あり
分割数 p(200) 直接計算 (その２）補足 - fortran66のブログ

以前、Hardy-Ramanujan-Rademacher の分割数 p(n) に対する式の計算を Fortran で行い、一部数値が G. E. Andrews の本 The Theory of Partitions に載っている結果と合わないことを述べました。
fortran66.hatenablog.com

The Theory of Partitions (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

作者: George E. Andrews
出版社/メーカー: Cambridge University Press
発売日: 2008/01/12
メディア: ペーパーバック
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その後もずっと気にしていたのですが、codeanywhere の計算例として実行した後、冬の日の徒然にしばし検索してみたところ、Herbert S. Wilf による結果が Fortran 計算と同じ結果を与えていることが分かりました。

まず、Andrews の本の数値ですが、これは f:id:fortran66:20171229142333p:plain
G. H. Hardy and S. Ramanujan の「Asymptotic Formulaæ in Combinatory Analysis」のオリジナル論文中の計算の値と一致していることが分かりました。
f:id:fortran66:20171229142422p:plain
onlinelibrary.wiley.com
私には論文の数学的な内容を追えないので、諸書中の解説を勝手に解釈して、Hardy-Ramanujan は不正確な漸近形の近似式を与え、Rademacher が後に正確な式を与えたと思っていたのですが、どうも項展開したものは数値的には両者とも一致してよいようです。

Fortran での数値計算

ここで、以前の Fortran Program によって改めて p(100) と p(200) を計算しなおして見ますと以下のようになります。

p(100),

     1                 190568944.783                        -0.000
     2                       348.872                        -0.000
     3                        -2.598                        -0.000
     4                         0.685                         0.000
     5                         0.318                         0.000
     6                        -0.064                        -0.000
p(100)                 190569291.996                        -0.000

p(200)

     1             3972998993185.896                        -0.000
     2                     36282.978                        -0.000
     3                       -87.584                         0.000
     4                         5.147                         0.000
     5                         1.424                         0.000
     6                         0.071                         0.000
     7                        -0.000                        -0.000
     8                         0.044                         0.000
p(200)             3972999029387.976                        -0.000

P(100) の結果は、Hardy and Rmanujan の結果を再現していることが分かります。また、p(200) の結果は第 3 項 -87.584 以外を再現していることが分かります。

Wilf の講義ノートの結果

さて三つの数字「3972998993185.896 36282.978 -87.5」で検索してみると、米国人数学者故 H.S.Wilf の講義ノートが引っかかり、そこにはここでの Fortran での計算結果と同じ数値が現れています。
3972998993185.896 36282.978 -87.5 - Google 検索

Lectures on Integer Partitions (From PIMS lectures given in summer 2000 at U. of Victoria. Copyright 2000.)

Herbert Wilf'
f:id:fortran66:20171229145234p:plain

また、以前疑問だった式の不等号に関しても正しいと思われるものになっています。(追記：ただし始まりの方は 0<=h ではなく 0

To illustrate this formula, we steal an example from [2], for n = 200.
Example 8
Feel free to verify this on your own:

と、Andrews の本から例題をかっぱらってくるといいながら、自分で検算してみるとよいと言っているので、計算結果が合わなかったことを暗示していると推察します。この講義ノートは、普通そうであるように学生がとったノートを起こしたものなので、この辺でむにゃむにゃ言っていたけど、何言いたいのかはっきりしないので文脈を失ったのかもしれません。

H. S. Wilf

この Wilf は、以前書いた記事の Wilf だと思います。
fortran66.hatenablog.com
この記事の本は 1960年代に編ぜられた本ですが、すでにいい結果が出揃ってまとめられています。日本語訳も出ています。また Wilf は1970年代には FORTRAN66 で様々な組み合わせ論のがらみのプログラムを書いています。

Mathematical Methods for Digital Computers: v. 2

作者: Anthony Ralston,Herbert S. Wilf
出版社/メーカー: John Wiley & Sons Inc
発売日: 1967/12/01
メディア: ハードカバー
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Mathematical Methods for Digital Computers: v. 1

作者: RALSTON MATHEMA,Anthony Ralston,Herbert S. Wilf
出版社/メーカー: John Wiley & Sons Inc
発売日: 1960/12/01
メディア: ハードカバー
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Combinatorial Algorithms: For Computers and Calculators (Computer science and applied mathematics) (English Edition)

作者: Albert Nijenhuis,Herbert S. Wilf
出版社/メーカー: Academic Press
発売日: 2014/05/10
メディア: Kindle版
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電子計算機のための数学的方法 (1972年)

作者: 久武雅夫
出版社/メーカー: 鹿島研究所出版会
発売日: 1972
メディア: ?
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電子計算機のための数学的方法〈2〉 (1975年)

作者: 片岡信二
出版社/メーカー: 鹿島出版会
発売日: 1975
メディア: ?
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A=B (English Edition)

作者: Marco Petkovsek,Doron Zeilberger,Herbert Wilf
発売日: 2017/01/04
メディア: Kindle版
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A=B―等式証明とコンピュータ (AKピータース・トッパン数理科学シリーズ)

作者: マーコペトコブセク,ドロンザイルバーガー,ハーバート・S.ウィルフ,Marko Petkov〓@7AAD@sek,Doron Zeilberger,Herbert S. Wilf,小林〓治,伊藤尚史
出版社/メーカー: トッパン
発売日: 1997/09
メディア: 単行本
クリック: 3回
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結論

こうしてみると Wilf の計算結果は自分で実際に計算して確かめてみたものではないかと思われます。Andrews の本は、付録に（他の内容ですが） FORTRAN のプログラムがあったりして、自分で計算していそうな雰囲気を醸し出していましたが、どうも Hardy&Ramanujan の結果の引きうつしの可能性があります。そして、ネット検索してみると分かりますが、引っかかるものは Hardy&Ramanujan/Andrews の値と同じものばかりなので、それがさらに孫引きされているようです。

ただ Andrews の本は 1980年代にペーパーバック化されているので、その時に数値が修正されているかもしれません。また Hardy-Ramanujan の漸近形ではたまたまあの項だけずれるのかもません。暇なときにもう少し勉強してまた調べてみたいと思います。

2017-12-28

codeanywhere で Fortran

Codeanywhere で gfortran7.2.0

codeanywhere というオンライン・エディター＆コンパイラ環境があって、無料でも使うことが出来ます。スマホやタブレット用の専用アプリもあって、git や Dropbox, Onedrive, Google Drive 等との連携も手軽にできるようです。
codeanywhere.com

C++ や Python などのお仕着せの環境が用意されているようなのですが、Fortran も出来ないかどうか試してみたところ、出来るということが分かりました。エディターも Fortran の syntax coloring に対応しています。

スマホアプリからの実行例

◇エディター
f:id:fortran66:20171228032635p:plain
◇コンソール
f:id:fortran66:20171228032638p:plain

インストール手順メモ

取りあえず登録する
Connections を右クリック New Connection を選択

f:id:fortran66:20171228033937p:plain
仮想環境作成画面が出るので、Container を選択、Name に適当な名前をつけて Stack から Blank - Ubuntu 14.04 を選択し、CREATE ボタンを押す。しばしののち、コンソールが立ち上がる。

gfortran 7.2.0 のインストール

sudo apt update
sudo apt install software-properties-common
sudo add-apt-repository ppa:ubuntu-toolchain-r/test
sudo apt install gfortran-7
sudo update-alternatives --install /usr/bin/gfortran gfortran /usr/bin/gfortran-7 10

editor の run ボタン設定

connectioin? 名を右クリック config を選択
config ファイルの中の "commands" の項目に、ボタンを押した時に実行するコマンドをベタ打ちで書き連ねる。

ここでは、ファイル名を parition.f90 とし、実行オブジェクトを partition.x として設定し、コンパイル後、実行するようにした。

			"commands": [
			"gfortran partition.f90 -o partition.x",
      "./partition.x"  
			],

f:id:fortran66:20171228035517p:plain f:id:fortran66:20171228035521p:plain

PC のブラウザ上での実行例

f:id:fortran66:20171228040217p:plain 　
以前やった分割数の計算を行います。
fortran66.hatenablog.com

p(200) ～ 3972999029387.976 と求まり、MacMahon 少佐の手計算した値と（四捨五入して）一致します。

fortran66.hatenablog.com

ファイル名の表示されているバーのところで右クリック split horizontal / split vertical を適宜選択することでVisual Studio 風の３ペイン型の表示に出来ます。

補足 ip 0.0.0.0

$netstat -an　
コマンドをうって

cabox@box-codeanywhere:~/workspace$ netstat -an
Active Internet connections (servers and established)
Proto Recv-Q Send-Q Local Address           Foreign Address         State
tcp        0      0 0.0.0.0:22              0.0.0.0:*               LISTEN
云々

となっている必要があるようです。

2017-12-18

スティーブン・バノン氏再来日！

先月に引き続きバノン氏再び来日！

トランプ大統領と同時期に来日していたバノン氏ですが、また来日していたようです。そして先月インタビューを受けたNHKについて、フェイク（偽）ニュースの報道機関として名をあげたようです。

NHKは良く反省して欲しいものですｗ　いよいよ支那退治へ！

www.sankei.com

　トランプ米大統領の有力側近で首席戦略官兼上級顧問を８月まで務めたスティーブン・バノン氏が１７日、東京都内で記者会見し、情報を過去に誤って伝えたフェイク（偽）ニュースの報道機関として、「ＮＨＫ」の名称をあげた。バノン氏は以前から、トランプ氏をめぐる報道について痛烈に批判しており、日本の報道機関がやり玉に挙がった形だ。
　バノン氏は会見で、トランプ氏が米ＣＮＮテレビなどの大手メディアを攻撃している問題に触れ、「私も個人的にメディアに反発したいわけではないが、（誤っているのが）真実だから語っている」と話した。
　その上で、米紙ニューヨーク・タイムズ紙やワシントン・ポスト、ＣＮＮ、英ＢＢＣテレビなど海外の報道機関とともにＮＨＫを挙げ、「（大統領選中のトランプ氏の報道などを）調べてみれば全てが間違っていた」と批判。具体的な記事については言及しなかった。
　ＮＨＫをめぐっては、バノン氏が今年１１月に放映された単独インタビュー中、北朝鮮問題について質問する記者に対し「あなたたちは日本のＣＮＮに違いない」と皮肉を言う場面があった。
　会見では、１８日に公表予定のトランプ政権初の包括的な安保政策文書「国家安全保障戦略」について触れ、「政権が９カ月間、（作成に向け）取り組んできた」と説明。「北朝鮮の行動は原則的に中国に責任があると明確にすると思う」と指摘した。

2017-12-16

Wybourne の Schur で Un → Un-1 計算二通り

ユニタリー群のブランチング計算をしてみます

$U_n\rightarrow U_{n-1}$ の branching は、skew Young 図を用いれば $\{\lambda/M\}$ で求められます。一方 Plethysm を用いると $U_n\rightarrow U_{n-1}$ に対して $\{1\}\rightarrow \{1\}+\{0\}$ なので $(\{1\}+\{0\})\otimes\{\lambda\}$ とも表わされます。

証明

$\begin{align} \{\lambda\}&\rightarrow (\{1\}+\{0\})\otimes\{\lambda\} \\ &\sum_\zeta(\{1\}\otimes\{\lambda/\zeta\})\cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\}) \\ &=\sum_m\{\lambda/\{m\}\} \\ &=\{\lambda/M\} \end{align}$
ここで、
$\{1\}\otimes\{\lambda\}=\{\lambda\}$ 、
$\{0\}\otimes\{\zeta\}=\begin{cases} 1 & ( \{\zeta\}=\{0\}, \{1\}, \{2\}, \cdots) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$
を用いました。

プログラム

例として Schur のプログラム機能を用いて、 $U(8)\rightarrow U(7)$ の場合について、 Plethysm による方法を計算して、skew Young 図による方法と比較してみます。

$\{\lambda\}\rightarrow\sum_\zeta(\{1\}\otimes\{\lambda/\zeta\})\cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\})$

gr u8
enter rv1
dim [rv1]
gr 4 u8 u8 u8 u8
rule [1*rv1*0*0] sum sk 2 eq 4
cont 3, 4        pl last
cont 1, 2        pl last 
sup false
gr u7
cont 1, 2        o  last
dim last
stop

Classical Groups for Physicists

作者:Wybourne, Brian G.
発売日: 1974/03/01
メディア: ハードカバー

Symmetry Principles and Atomic Spectroscopy

作者:Wybourne, Brian G.
発売日: 1970/09/01
メディア: ハードカバー

The Theory of Group Representations (Phoenix Edition)

作者:Murnaghan, Francis D.
発売日: 2005/09/14
メディア: ハードカバー

The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing)

作者:Littlewood, Dudley E.
発売日: 2006/03/21
メディア: ハードカバー

計算結果

Plethysm による方法

DP> readfn 1 'unun1.fn'
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv10
Dimension = 1
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{0}
Dimension = 1

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv11
Dimension = 8
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{1} + {0}
Dimension = 8

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv12
Dimension = 36
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{2} + {1} + {0}
Dimension = 36
DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv13
Dimension = 120
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{3} + {2} + {1} + {0}
Dimension = 120

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv121
Dimension = 168
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{21} + {2} + {1^2} + {1}
Dimension = 168

DP> fn 1
Group is U(8)
enter rv14331
Dimension = 199584
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(7)
group not set
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3} + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}
Dimension = 199584
DP>

skew Young 図を用いた計算

DP> sfn
Schur Function Mode
SFN> sk 0, m
{0}
SFN> sk 1, m
{1} + {0}
SFN> sk 2, m
{2} + {1} + {0}
SFN> sk 3, m
{3} + {2} + {1} + {0}
SFN> sk 21, m
{21} + {2} + {1^2} + {1}
SFN> sk 43^21, m
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3} + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}
SFN>

同じ結果が求まっています。

素直に Plethysm 計算をした場合

SFN> pl 0+1,1
{1} + {0}
SFN> pl 0+1,2
{2} + {1} + {0}
SFN> pl 0+1,3
{3} + {2} + {1} + {0}
SFN> pl 0+1,21
{21} + {2} + {1^2} + {1}
SFN> pl 0+1,43^21
{43^2 1} + {43^2} + {4321} + {432} + {431^2} + {431} + {3^3 1} + {3^3}
 + {3^2 21} + {3^2 2} + {3^2 1^2} + {3^2 1}

2017-12-16

NHKのスティーブン・バノン氏のインタビュー

長文のインタビューが掲載されています。興味深い内容です。
www3.nhk.or.jp

最近の NHK について

最近のNHKは左傾化・軽薄化が著しく、面白い番組が無くなっていると思います。ニュースではアナウンサーが誰も聞きたくない個人の感想を垂れ流しており、全く見る気がしません。

教育テレビジョンも漫才師が面白くもない話をしていることが多く、もう少し何とかならないものかと思います。江戸屋猫八の動物模写とか、切り絵を見せるとか、そういう芸を放送するならともかく、なんで漫才師が司会などに出てくるのか分かりません。

昔の NHK 教育テレビジョンでは、三笠宮孝仁親王殿下の古代エジプト学の講義が放送され、穀物神としての古代メソポタミアの王の話に及んだ時に、穀物神としての天皇の大嘗祭の密儀の奥義の片鱗にも触れるという（自分は弟だからこれ以上は知らないとぼやかしていましたが）、大変意義深く貴重な番組があって、そのテレビ講義を書籍化したものは、未だに版を重ねる学術入門書として高く評価されています。古代ローマ時代のイシスの密議を漏らしたという、アプレイウスの黄金の驢馬の第１１章に匹敵する、驚異の内容だと思います。

現在の教育テレビジョンとしての役割を忘れた情けない姿からは、テレビという老人・女子供しか見ない斜陽メディアの無能さ愚劣さだけが浮き出て見えます。

2017-12-15

Schur マニュアルの問題を解く　その７

7.5 The Final Test

問３

3. Show that if under $U_{n(n-3)\over2}\rightarrow S_n$ 　 $\{1\}\rightarrow< 2 >$ then for an arbitrary irreducible representation $\lambda$ we have
${\lambda}\rightarrow<1>\otimes[\sum_{\rho,\mu,\nu}(-1)^{\omega_\rho}\{\lambda/\rho\circ\mu\}\cdot\{\mu\}\cdot(\{1^2\}\otimes\{\tilde{\rho}/\nu\})\cdot\{\nu/M\}]$ (7.11)

Plethysm の公式より

公式集
$A\otimes(B\pm C)=A\otimes B\pm A\otimes C$ (3.34)
$A\otimes(BC)=(A\otimes B)\cdot(A\otimes C)$ (3.35)
$A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$ (3.36)
$(A+B)\otimes\{\mu\}=\sum_{\zeta}(A\otimes\{\mu/\zeta\})\cdot(B\otimes\{\zeta\})$ (3.37)
$(A-B)\otimes\{\mu\}=\sum_{\zeta}(-1)^{\omega_\zeta}(A\otimes\{\mu/\zeta\})\cdot(B\otimes\{\tilde\zeta\})$ (3.38)
$(AB)\otimes{\mu}=\sum_\rho(A\otimes\{\rho\})\cdot(B\otimes\{\mu\circ\rho\})$ (3.39)

$\{1\}\rightarrow<2>$ なので、 $\{\lambda\}={1}\otimes\{\lambda\}$ と合わせると、 $\{\lambda\}\rightarrow<2>\otimes\{\lambda\}$ を計算すればよい。

ここで問１で求めた $<2>=<1>^2-<1^2>-<1>-<0>$ の関係式をつかうと求めるべき計算式は以下のようになる。

$<2>\otimes\{\lambda\}=<1>\otimes(\{1\}^2-(\{1^2\}+\{1\}+\{0\}))\otimes\{\lambda\}$
式 (3.36) と式 (3.38) より
$=<1>\otimes\sum_\rho(-1)^{\omega_\rho}(\{1\}^2\otimes\{\lambda/\rho\})\cdot( (\{1^2\}+\{1\}+\{0\})\otimes\{\rho'\})$

式 (3.39) と式 (3.37) より
$=<1>\otimes\sum_\rho(-1)^{\omega_\rho}(\sum_\mu (\{1\}\otimes\{\mu\})\cdot(\{1\}\otimes\ \{(\lambda/\rho)\circ\mu\})\cdot(\sum_\nu(\{1^2\}\otimes\{\tilde\rho/\nu\})\cdot( (\{1\}+\{0\})\otimes\{\nu\}))$
ここで ${1}\otimes{\lambda}={\lambda}$ および $U_n\rightarrow U_{n-1}$ のブランチングに用いられる
$(\{1\}+\{0\})\otimes\nu= \{1/M\}\otimes\{\nu\}=\{\nu/M\}$
の関係より、

$=<1>\otimes\sum_\rho(-1)^{\omega_\rho}(\sum_\mu\{\mu\}\cdot\{(\lambda/\rho)\circ\mu\})\cdot(\sum_\nu(\{1^2\}\otimes\{\tilde\rho/\nu\}\cdot\{\nu/M\})$

総和記号をまとめれば、問題の式が示される。

問４

4. Let $x = f^{<21>}_n$ . Show that if under $U_x\rightarrow S_n \{1\} \rightarrow< 21 >$ then for an arbitrary irreducible representation $\lambda$ we have
$\{\lambda\}\rightarrow<1>\otimes\sum_{\rho,\mu,\nu,\tau}(-1)^{\omega_\rho} (\{1^2\}\otimes\{\lambda/M\rho\circ\mu\}\cdot\{\mu\})\cdot(\{1^3\}\otimes\{\tilde\rho/\tau\}) \cdot\{\tau\circ\nu\}\cdot\{\nu\}$ (7.12)

問３と同様に

問１の $<21>=<1^2><1>-<1^3>-<1>^2+<0>$ より

$\begin{align} <21> &\rightarrow <21>\otimes\{\lambda\}\\ &=[<1>\otimes (\{1^2\}\{1\}-\{1^3\}-\{1\}^2+\{0\}) ] \otimes\{\lambda\} \end{align}$

$\begin{align} &(\{1^2\}\{1\}-\{1^3\}-\{1\}^2+\{0\})\otimes\{\lambda\} \\ &= \sum_\rho(-1)^{\omega_\rho}(\{1^2\}\cdot\{1\}+\{0\})\otimes\{\lambda/\rho\})\cdot((\{1^3\}+\{1\}^2)\otimes\{\tilde\rho\}) \\ &= \sum_\rho(-1)^{\omega_\rho}(\sum_\zeta(\{1^2\}\{1\})\otimes\{\lambda/\rho\cdot\zeta\}) \cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\})\cdot(\sum_\tau(\{1^3\}\otimes\{\tilde\rho/\tau\})\cdot(\{1\}^2\otimes\tau) ) \end{align}$
ここで
$\begin{align} &\sum_\zeta(\{1^2\}\{1\})\otimes\{\lambda/\rho\cdot\zeta\} \\ &=\sum_\zeta(\sum_\mu(\{1^2\}\otimes\{\lambda/\rho\cdot\zeta\circ\mu\})\cdot(\{1\}\otimes\{\mu\})\cdot(\{0\}\otimes\{\zeta\}) ) \\ &=\{1^2\}\otimes\{\lambda/\rho M\circ\mu\}\cdot\{\mu\} \end{align}$
但し、
$\{0\}\otimes\{\zeta\}=1\,\,\,\mathrm{if}\,\,\zeta=\{1\},\{2\},\{3\}\cdots \mathrm{else}\,\,\, 0.$
$M\equiv\sum_m\{m\}=\{1\}+\{2\}+\{3\}+\cdots$

を用いた。
また、
$\begin{align} &\sum_\tau(\{1^3\}\otimes\{\tilde\rho/\tau\})\cdot(\{1\}^2\otimes\tau) \\ &=\sum_\tau(\{1^3\}\otimes\{\tilde\rho/\tau\}) \cdot (\sum_\nu(\{1\}\otimes\nu) \cdot (\{1\}\otimes\{\tau\circ\nu\} ) \\ &=\sum_\tau(\{1^3\}\otimes\{\tilde\rho/\tau\})\cdot(\sum_\nu\{\nu\}\cdot\{\tau\circ\nu\}) \end{align}$
と変形できる。
これらをまとめれば、問題の式が示される。

問５

5. Write a function to obtain the branching rule for Eq. 7.11 for $n = 8$ and obtain the
decomposition for the $\{21\}$ irreducible representation for $U_{20}\rightarrow S_8$ .

模範解答が与えられているので実行結果のみ

SchurQ7-5.fn

[rv1*0*1^2*0*0] は各群の規約表現などの初期値。

gr u20
enter rv1
dim[rv1]
gr 5 u8 u8 u8 u8 u8
rule [rv1*0*1^2*0*0]  sum sk 1 conj 4
rule last  ch_phase 4
rule last  sum i 1 eq 2
cont 1, 2  o last
rule last  sum sk 3 eq 4
cont 2, 3  pl last
cont 1, 2  o  last
rule last  sk 2, with M
cont 1, 2  o last
gr s8 
rule last  i_pl 1
sup false
rule last  make 1, 8
dim last
stop

実行結果

DP> readfn 5 'ShurQ7-5.fn'
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-

DP> fn 5
Group is U(20)
enter rv1 21
Dimension = 2660
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(8)
Group is S(8)
2{71} + 5{62} + 4{61^2} + 4{53} + 9{521} + 3{51^3} + 2{4^2} + 6{431} + 5{42^2} + 5{421^2} + {41^4} + 2{3^2 2} + 3{3^2 1^2}
 + 2{32^2 1} + {321^3}
Dimension = 2660
DP>

問６

6. Write a function to obtain the branching rule for Eq. 7.12 for $n = 8$ and obtain the
decomposition for the ${21}$ irreducible representation for $U_{64}\rightarrow S_8$ .

模範解答が与えられているので実行結果のみ

contraction で、演算子を省略すると外積になるようで、マニュアルの解答例では省略してあるが、ここでは明示的に書いた。（cont 1, 2 last　＝>　cont 1, 2 o last）

'ShurQ7-6.fn'

gr u64
enter rv1
dim[rv1]
gr 7 u8 u8 u8 u8 u8 u8 u8
rule [1^2*rv1*0*1^3*0*0*0]  sk 2 with M
rule last  sum sk 2 conj 5
rule last  ch_phase 5
rule last  sum i 2 eq 3
cont 1, 2  pl last
cont 1, 2  o  last
rule last  sum sk 3 eq 4
cont 2, 3  pl last
cont 1, 2  o  last
rule last  sum i 2 eq 3
cont 1, 2  o last
cont 1, 2  o last
gr s8 
rule last  i_pl 1
sup false
rule last  make 1, 8
dim last
stop

実行結果

DP> readfn 6 'ShurQ7-6.fn'
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-
=-

DP> fn 6
Group is U(64)
enter rv1 21
Dimension = 87360
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8) * U(8)
Groups are U(8) * U(8)
Group is U(8)
Group is S(8)
2{8} + 19{71} + 53{62} + 54{61^2} + 69{53} + 156{521} + 79{51^3} + 33{4^2} + 160{431} + 126{42^2} + 195{421^2} + 70{41^4}
 + 91{3^2 2} + 118{3^2 1^2} + 142{32^2 1} + 124{321^3} + 37{31^5} + 25{2^4} + 51{2^3 1^2} + 35{2^2 1^4} + 10{21^6} + {1^8}
Dimension = 87360
DP>

2017-12-13

Schur マニュアルの問題を解く　その６

7.4 Exercise

Establish the following character table for the Hecke algebra $H_4(q)$ of type $A_3$ and show that if $q\rightarrow1$ the character table for the symmetric group $S_4$ is recovered:

f:id:fortran66:20171213015650p:plain

よく分からないが、操作としては下記かｗ

各類毎に結果が表の縦方向に出る。ソートするために swap してみた。

(1^4) : {4}+3{31}+2{2^2}+3{21^2}+{1^4}
(21^2) : q{4}+(2q-1){31}+(q-1){2^2}+(q-2){21^2}-{1^4}
(2^2) : q^2(4)+(q^2-2q){31}+(q^2+1){2^2}+(-2q+1){21^2}+{1^4}
(31) : q^2(4)+(q^2-q){31}-q{2^2}+(-q+1){21^2}+{1^4}
(4) : q^3(4)-q^2{31}+q{21^2}-{1^4}

マニュアルのテーブルと少し値が異なるが（χ^(2^2)_{21^1}, χ^(4)_{31}）、本来は q=1 の極限で普通の S(4) の指標に戻るはずであるから、たぶんマニュアルの間違いだろう。

DP> gr 2 u1 u4
Groups are U(1) * U(4)
DP> setv 1 [0*1]                                                                             
DP> setv 2 [1*2]-[0*1^2]                                                                             
DP> setv 3 [2*3]-[1*21]+[0*1^3]                                                                             
DP> setv 4 [3*4]-[2*31]+[1*21^2]-[0*1^4]                                                                             

DP> setv 11 p p p v1, v1, v1, v1                                                                                     
DP> setv 12 p p v2, v1, v1
DP> setv 13 p v2, v2
DP> setv 14 p v3, v1
DP> setv 15   v4

DP> swap 1,2 v11
Groups are U(4) * U(1)
{4}{0} + 3{31}{0} + 2{2^2}{0} + 3{21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v12
Groups are U(1) * U(4)
{4}{1} + 2{31}{1} - {31}{0} + {2^2}{1} - {2^2}{0} + {21^2}{1} - 2{21^2}{0} - {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v13
Groups are U(4) * U(1)
{4}{2} + {31}{2} - 2{31}{1} + {2^2}{2} + {2^2}{0} - 2{21^2}{1} + {21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v14
Groups are U(1) * U(4)
{4}{2} + {31}{2} - {31}{1} - {2^2}{1} - {21^2}{1} + {21^2}{0} + {1^4}{0}
DP> swap 1,2 v15
Groups are U(4) * U(1)
{4}{3} - {31}{2} + {21^2}{1} - {1^4}{0}
DP>

7.5 The Final Test

問１

1. Use SCHUR to conrm the following three results in reduced notation:-
$< 2 > = < 1 >^2-< 1^2 >-< 1 >-< 0 >$
$< 21 > = < 1^2 >< 1 >-< 1^3 >-< 1 >^2 + < 0 >$
$< 3 > = < 1 >^3 + < 1^3 >-2< 1^2 >< 1 >-< 1 >^2 + < 0 >$

reduced expression を用いて

以下の展開より<1><1>=<2>+<1^2>+<1>+<0>
移項して<2>についてまとめると<2>=<1><1>-<1^2>-<1>-<0>
同様に<1^2><1>=<21> + <2> + <1^3> + <1^2> + <1>
=<21>+(<1><1>-<1^2>-<1>-<0>)+ <1^3> + <1^2> + <1>
=<21>+<1><1>-<0>+<1^3>
移項して <21>=<1^2><1>-<1^3>-<1><1>+<0>
また<1><1><1>=<3>+ 2<21> + 3<2> + <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>
　　　　　 =<3>+2(<1^2><1>-<1^3>-<1><1>+<0>)+3(<1><1>-<1^2>-<1>-<0>)+ <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>
=<3>+2<1^2><1>-<1^3>+<1><1>+<1> 　　　　　　　　　　　
より<3>=<1><1><1>+<1^3>-2<1^2><1>-<1><1>-<1>
（最後の項が-<0>ではなく-<1>となったが、たぶんマニュアルの間違い）

SFN> rd_i 1,1
<2> + <1^2> + <1> + <0>
SFN> rd_i 1^2, 1
<21> + <2> + <1^3> + <1^2> + <1>
SFN> rd_i rd_i 1, 1, 1
<3> + 2<21> + 3<2> + <1^3> + 3<1^2> + 4<1> + <0>

問２

2. Show that for the group $S_n$ the dimensions $f^{<\mu>}_n$ of the irreducible representations $< 2 >$ , $< 21 >$ and $< 3 >$ are as follows:-
$f^{<2>}_n = {n(n - 3)\over 2}\,\,\, (7.8)$
$f^{<21>}_n ={n(n - 2)(n - 4)\over 3}\,\,\, (7.9)$
$f^{<3>}_n = {n(n - 1)(n - 5)\over 6}\,\,\, (7.10)$

対称群の指標の一般式

今の場合、規約表現の多重度を求めるので類としては ρ = (1^n) だけを考えればいいので楽。 $f^{<2>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-2,2\}}_{(1^n)}$ , $f^{<3>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-3,3\}}_{(1^n)}$ , そして $f^{<21>}_n$ に対応する指標は $\chi^{\{n-3,2,1\}}_{(1^n)}$ となっている。

$\chi^{\{n-2,2\}}_{(1^n)}$ の場合、二変数を考えれば十分なので、フロベニウスの式より $S_{(1^n)}\bigtriangleup(x_1.x_2)=\sum_{\lambda}\pm\chi_{1^n}^{\lambda}x_1^{(n-2)+1}x_2^{2}$
の左辺の $x_1^nx_2$ の係数を見ればよい。ここで $\bigtriangleup(x_1.x_2)=x_1-x_2$ は vandermonde 行列式を表す。

左辺は $S_{(1^n)}=(x_1+x_2)^n$ なので $\chi_{1^n}^{\{n-2,2\}}=\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2$ 。

同様に $\chi^{\{n-3,3\}}_{(1^n)}$ の場合は、 $\chi_{1^n}^{\{n-3,3\}}=\left( \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)=n(n-1)(n-5)/6$ 。

また $\chi^{\{n-3,21\}}_{(1^n)}$ の場合は、 $x_1,x_2,x_3$ の 3 変数になるのでやや面倒だが、 $(x_1+x_2+x_3)^n\bigtriangleup(x_1.x_2,x_3)$ を展開して、 $x_1^{n-3}x_2^2x_3$ の項の係数を見ればよい。 $x_3^2$ 以上の項は捨てられる点に注意して、 $\chi_{1^n}^{\{n-3,2,1\}}={n!\over(n-3)!2!1!}-{n!\over(n-2)!1!1!}+{n!\over(n-1)!1}-{n!\over(n-3)!3!}$ を計算すればよい。

Schur を使う場合は、指標を n=3,4,5... と計算して、数列の差分を見れば一応答えは得られると思うｗ

式の内間違い修正 R2.8.27