八元数 Octonion
八元数は Lie 群の例外群と関係が深いのですが、結合則が成り立たないので実数・複素数・四元数を行列要素にもつ古典群のようには素直に行列表現を作れないので厄介です。
八元数の虚部の関係性は Fano 平面で表わされることが多いですが、三次元で考えると、四面半六面体で中心にも点を置いた対称性を持っているように思えます。また、立体の対称性の他に、中心点も頂点に動かすような操作もできるように感じられます。
八元数 - Wikipedia
7つの頂点(i, 0), (j, 0), (k, 0), (0, 1), (0, i), (0, j), (0, k)