Γ関数

Γ関数が整数値で階乗になるとして、残りの部分の可能性は無限にあるのに、なぜ今のような定義になっているのか、最初に習った時に疑問に思ったものです。連続性や微分可能性を要請しても足りないし。そもそも定義の仕方も色々あるし。
何を前提にすれば、Γ関数の定義になるのか分かりやすく書いてあります。一番簡潔なのは、対数凸関数の条件を入れることのようです。