【メモ帳】積分２ - fortran66のブログ

C6.1 $\int_0^{\pi\over2} \cos^{-1}\left( {1\over1+2\cos x} \right) dx=\zeta(2)$

$I=\int_0^{\pi\over2} \arccos \left( {1\over1+2\cos x} \right) dx$

ここで $\cos2x=2\cos^2x-1=2u^2-1, u=\cos x$ より、
$\arccos(2u^2-1)=\arccos(\cos2x) = 2x = 2\arccos(u)$ なので、
$\alpha=2\theta^2-1$ とすると、 $\theta=\sqrt{\alpha\over 2}$ すなわち $\arccos(\alpha)=2\arccos\sqrt{1+\alpha\over2}$ となる。

これより
$\begin{align} \alpha&=\arccos\left({\cos x\over1+2\cos x}\right)\\ &=2\arccos\left(\sqrt{1+\cos x\over1+2\cos x}\right)\\ &=2\arctan\left(\sqrt{\cos x\over1+\cos x}\right)\\ \end{align}$
が得られる。ここで最後の式はピタゴラスの定理と三角関数の定義による。

$\begin{align} I&=2\int_0^{\pi\over2}\arctan\left( \sqrt{\cos x\over 1+\cos x}\right) dx\\ &=4\int_0^{\pi\over4}\arctan\left( \sqrt{\cos2y\over1+\cos2y} \right)dy, \,\,(x=2y)\\ &=4\int_0^{\pi\over4}\arctan\left( \sqrt{1-2\sin^2y\over2\cos^2y} \right)dy, \,\,(倍角の公式）\\ \end{align}$

ここで ${1\over b}\arctan b =\int_0^1{1\over1+b^2t^2}dt$ より、
$\begin{align} I&=4\int_0^{\pi\over4}\int_0^1\sqrt{1-2\sin^2y\over2\cos^2y} {1\over 1+\left({1-2\sin^2y\over2\cos^2y}\right)t^2} dt dy\\ &=4\int_0^{\pi\over4}\int_0^1{\sqrt2\sqrt{1-2\sin^2y}\,\cos y\over (2+t^2)-2(1+t^2)\sin^2y} dt dy\\ &=4\int_0^{\pi\over2}\int_0^1{\sqrt{1-\sin^2w}\,\cos w\over (2+t^2)-(1+t^2)\sin^2w} dt dw, \,\,(\sqrt2\sin y=\sin w )\\ &=4\int_0^{\pi\over2}\int_0^1{\cos w\cos w\over (2+t^2)-(1+t^2)(1-\cos^2w)} dt dw\\ &=4\int_0^{\pi\over2}\int_0^1{\cos^2w\over 1+(1+t^2)\cos^2w} dt dw\\ &=4\int_0^\infty\int_0^1{{1\over 1+s^2}\over 1+(1+t^2){1\over1+s^2}}{1\over1+s^2} dt ds, \,\,(s=\tan w )\\ &=4\int_0^\infty\int_0^1{1\over (1+s^2)(2+t^2+s^2)} dt ds\\ &=4\int_0^\infty\int_0^1{1\over(1+t^2)(1+s^2)}-{1\over(1+t^2)(2+t^2+s^2)}dtds, \,\, （部分分数に展開）\\ &=4\left({\pi^2\over8}-{\pi\over2}\int_0^1{1\over(1+t^2)\sqrt{2+t^2}} \right) , \,\, （ s について積分ののち t について積分）\\ &=4\left({\pi^2\over8}-{\pi\over2}{\pi\over6} \right), \,\, （昨日の結果から）\\ &={\pi^2\over6}\\ \end{align}$

Inside Interesting Integrals: A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions, and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked, and Devilishly Seductive Maneuvers for Computing Nearly 200 Perplexing Definite Integrals From Physics, Engineering, and Mathematics (Plus 60 Challenge Problems with Complete, Detailed Solutions) (Undergraduate Lecture Notes in Physics)

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メディア: ペーパーバック
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数値計算台形公式+Richardson 補外

実行結果

   1.64492430955605        1.64490909118690        1.64486343607944
   1.64493406684823
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プログラム

module m_mod
    implicit none
    integer, parameter :: kd = kind(0.0d0)
    real(kd), parameter :: pi = 4 * atan(1.0_kd)
contains
    pure real(kd) function f(x)
        real(kd), intent(in) :: x
        f = acos(1.0_kd / (1.0_kd + 2.0_kd * cos(x)))
    end function f
    
    pure real(kd) function trapez(func, x0, x1, n) result(s)
        procedure(f) :: func
        real(kd), intent(in) :: x0, x1
        integer , intent(in) :: n
        real(kd) :: h, y(0:n)
        integer :: i
        h = (x1 - x0) / n
        forall(i = 0:n) y(i) = func(x0 + i * h)
        s = h * ( y(0) / 2 + sum(y(1:n-1)) + y(n) / 2 )
    end function trapez
end module m_mod

program test
    use m_mod
    implicit none
    integer, parameter :: n = 2**9
    real(kd) :: s0, s1, x0, x1
    integer :: i
    x0 = 0.0_kd 
    x1 = pi / 2.0_kd - epsilon(x1) 
    s0 = trapez(f, x0, x1, n * 2)
    s1 = trapez(f, x0, x1, n)
    print *, (4 * s0 - s1) / 3, s0, s1, pi**2 / 6.0_kd
end program test

C6.1

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C6.1 $\int_0^{\pi\over2} \cos^{-1}\left( {1\over1+2\cos x} \right) dx=\zeta(2)$

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