IEEE754 の規格では、加減乗除の二項演算について、実数とその浮動小数点数表現の構造が保たれることを要求しています。つまり、加算の場合を例にとると、
a + b = c fl(a) + fl(b)= fl(a + b) = fl(c)
この性質があるので、実数の可換な性質は保たれます。（overflow とかしなければ）
fl(a) + fl(b)= fl(a + b) = fl(b + a) = fl(b) + fl(a)
一方、実数で成り立つもっと基本的な演算規則である結合則の方は、三項演算に相当していて、規格からの要請もなく（たぶんｗ）成り立たない場合があります。「桁落ち」や「積み残し」が問題化するのは結合則からのズレに還元できると思います。結合則が成り立たない場合、演算の順序を明示的に指示する必要が出てきます。
(a + b) + c = a + (b + c) (fl(a) + fl(b)) + fl(c) = fl(a + b) + fl(c) /= fl(a) + (fl(b) + fl(c)) = fl(a) + fl(b + c)
プログラムで、見てみることにしてみます。
プログラム
乱数で実数を生成して、交換子と結合子を計算してして、交換則と結合則からのずれを見てみます。ズレがなければ 0.0 になるはずです。
program Console1 implicit none integer, parameter :: kd = kind(1.0d0), nmax = 100 real(kd) :: x(2, nmax), y(3, nmax), z(nmax) integer :: i call random_seed() print *, 'commutator' call random_number(x) z = comm_plus(x(1, :), x(2, :)) print *, 'non-commutative =', count(z /= 0.0_kd), '/', nmax print *, 'associator' call random_number(y) z = assoc_plus(y(1, :), y(2, :), y(3, :)) print *, 'non-associative =', count(z /= 0.0_kd), '/', nmax print '(e30.15)', pack(z, z /= 0.0_kd) do i = 1, nmax if (z(i) /= 0.0_kd) print *, y(:, i) end do contains real(kd) pure elemental function comm_plus(x, y) real(kd), intent(in) :: x, y comm_plus = (x + y) - (y + x) end function comm_plus real(kd) pure elemental function comm_mult(x, y) real(kd), intent(in) :: x, y comm_mult = (x * y) - (y * x) end function comm_mult real(kd) pure elemental function assoc_plus(x, y, z) real(kd), intent(in) :: x, y, z assoc_plus = ((x + y) + z) - (x + (y + z)) end function assoc_plus real(kd) pure elemental function assoc_mult(x, y, z) real(kd), intent(in) :: x, y, z assoc_mult = ((x * y) * z) - (x * (y * z)) end function assoc_mult end program Console1
計算結果
計算結果から分かるように、交換則の方は確かに満たされていますが、結合則の方は２割程度の確率で満たされていないことが分かります。
ステパノフの本や関数型言語の本などでは、結合則を根底において、モノイド、半群、群などの造を導入して、結合則による演算順序の組み換えを縦横に使って並列動作などさせていますが、整数や文字列のような離散値の場合はよいとして、浮動小数点数の場合は結合則が崩れているので、実数の演算の問題にどこまで適用できるのか慎重に見極める必要がある気がします。
commutator
non-commutative = 0 / 100
associator
non-associative = 22 / 100
-0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
-0.444089209850063E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
-0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
-0.444089209850063E-15
-0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
-0.222044604925031E-15
0.111022302462516E-15
0.444089209850063E-15
0.111022302462516E-15
0.111022302462516E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
0.222044604925031E-15
0.444089209850063E-15
0.197336647554121 0.583104599529825 0.230515619550751
0.478456421601024 0.365995662803589 0.695310195955152
0.765030199209025 0.821438970892834 0.822794756357349
0.154500948792594 0.776532299353388 0.343291349327081
0.123168650301795 0.892064457677992 0.624841959267652
5.340595195978214E-002 0.883762457929461 0.282097598062034
0.271274877739308 0.990276136982007 0.295042576304925
0.385678503561146 0.550016479450929 0.368699724012741
0.649285046006193 0.772531681072521 0.291322963201651
6.278512502868444E-002 0.484351337035122 0.846490729577704
0.791263186492663 0.730073920942973 0.590455112135355
0.599791134233700 0.716285730192570 0.379474641874127
0.271981838214423 0.686661556999306 0.655546444804149
9.427993838386348E-002 0.387223376386792 0.590407433074261
0.295995343550855 0.100678724962143 0.578481472642591
0.631307369405927 0.834670683810024 0.762999289601546
0.634957778719910 0.129886627681722 0.170474343695826
0.131887838808105 6.074681699437982E-002 0.581256123449080
8.217122777577210E-002 0.437050020391703 0.846554402242005
0.522359744366527 0.748392434610684 0.567776991641634
0.555136565205923 0.518809881107340 0.750619304274506
0.487565338352254 0.577165852794002 0.970361542180519
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