fortran66のブログ

fortran について書きます。

【メモ帳】arcsin

導出メモ

すぐ忘れるｗ

$\displaystyle \sin(x)={\exp(ix)-\exp(-ix)\over 2i}$

$\displaystyle 2i\exp(ix)\sin(x)=\exp(2ix)-1$

$\displaystyle \exp(2ix)-2i\exp(ix)\sin(x)-1=0$

これを $\exp(ix)$ の二次方程式と見て解くと

$\displaystyle \exp(ix)=i\sin(x)+\sqrt{-\sin^2(x)+1}$

但しプラスの解だけを取った。ここで両辺の対数を取ると、

$\displaystyle ix=\log\left(i\sin(x)+\sqrt{1-\sin^2(x)}\right)$

となる。

さて $\sin(x)=z$ と置き換えることを考えると $x=\arcsin(z)$ なので、

$\displaystyle \arcsin(z) =-i\log(iz+\sqrt{1-z^2})$

が求まる。

check

    program arcsine
        implicit none
        real :: x
        complex :: c, ci = (0.0, 1.0)
        integer :: i
        do i = 1, 10
            call random_number(x)
            print *, x, ':', asin(x), -ci * log(ci*x+sqrt(1.0-x*x))
        end do
        
        print *
        
        do i = 1, 10
            c = cmplx(i*i*i, i*i) * 1.0e-2
            print *, c, ':', asin(c), -ci * log(ci*c+sqrt(1.0-c*c))
        end do    
    end program arcsine

 3.9208680E-07 :  3.9208680E-07 (3.9208680E-07,-7.6866031E-14)
 2.5480442E-02 :  2.5483200E-02 (2.5483200E-02,-1.2659941E-08)
 0.3525161     :  0.3602585     (0.3602585,-5.6824399E-09)
 0.6669145     :  0.7300602     (0.7300602,-8.5801748E-09)
 0.9630555     :   1.298127     (1.298127,-7.1473925E-09)
 0.8382882     :  0.9941360     (0.9941360,-6.4942043E-09)
 0.3353550     :  0.3419821     (0.3419821,-3.6983820E-09)
 0.9153272     :   1.156320     (1.156320,2.0078712E-09)
 0.7958636     :  0.9204326     (0.9204326,-2.7873030E-08)
 0.8326931     :  0.9839536     (0.9839535,-2.3087523E-09)

(9.9999998E-03,9.9999998E-03) : (9.9996664E-03,1.0000333E-02) (9.9996664E-03,1.0000329E-02)
(7.9999998E-02,3.9999999E-02) : (8.0021039E-02,4.0117647E-02) (8.0021039E-02,4.0117655E-02)
(0.2700000,8.9999996E-02) : (0.2721770,9.3304269E-02) (0.2721770,9.3304262E-02)
(0.6400000,0.1600000) : (0.6775884,0.2039517) (0.6775884,0.2039518)
(1.250000,0.2500000) : (1.270154,0.7668216) (1.270154,0.7668217)
(2.160000,0.3600000) : (1.385768,1.424145) (1.385768,1.424145)
(3.430000,0.4900000) : (1.422694,1.915248) (1.422694,1.915249)
(5.120000,0.6400000) : (1.444065,2.324834) (1.444065,2.324834)
(7.290000,0.8100000) : (1.459105,2.681223) (1.459105,2.681221)
(10.00000,1.000000) : (1.470634,2.998273) (1.470634,2.998266)

TOOGE プレゼント女性人気月ライト【3代目】間接照明おしゃれ 3Dプリント usb充電タッチ調光 2色無段階調光誕生日プレゼント(直経15cm)

TOOGE プレゼント女性人気月ライト【3代目】間接照明おしゃれ 3Dプリント usb充電タッチ調光 2色無段階調光誕生日プレゼント(直経15cm)

TOOGE

TOOGE プレゼント女性人気月ライト【3代目】間接照明おしゃれ 3Dプリント usb充電タッチ調光 2色無段階調光誕生日プレゼント (直経18cm)

TOOGE プレゼント女性人気月ライト【3代目】間接照明おしゃれ 3Dプリント usb充電タッチ調光 2色無段階調光誕生日プレゼント (直経18cm)

TOOGE

磁気浮上月ライト浮遊月ランプ三色切り替えナイトライトテーブルランプ回転ムーンライト 3Dプリント間接照明雰囲気作り誕生日プレゼント人気プレゼント進学/新年/結婚/引っ越し/クリスマスプレゼント/バレンタインデー癒しの灯

磁気浮上月ライト浮遊月ランプ三色切り替えナイトライトテーブルランプ回転ムーンライト 3Dプリント間接照明雰囲気作り誕生日プレゼント人気プレゼント進学/新年/結婚/引っ越し/クリスマスプレゼント/バレンタインデー癒しの灯

VBLUER

GDREAMT 磁気浮上月ライト 3Dプリント月ランプ 3色切り替え自動回転ムーンライト間接照明おしゃれお月様ライト 15cm 誕生日プレゼント部屋のインテリア

GDREAMT 磁気浮上月ライト 3Dプリント月ランプ 3色切り替え自動回転ムーンライト間接照明おしゃれお月様ライト 15cm 誕生日プレゼント部屋のインテリア

GDREAMT