マーナハン・中山の式

Murnaghan の読み方が分からりませんが、たぶんゲール系の名前でマーナハンと読むのではないかと思われます。

マーナハン・中山の式を用いると、対称群の指標が機械的に簡単に求められます。多分マーナハンは代数的な方法を、中山が図形的な方法を示したと思います（未確認）。ここでは代数的な操作で解いています。ヤング図を用いた図形的な方法は、対称群のみならず、ユニタリー群、回転群、シンプレクティック群でも本質的に同じ方法が使えるので無視できません。

実行結果

まで確かめました。

	(1)
{1}	1

	(1,1)	(2)
{2}	1	1
{1,1}	1	-1

	(1,1,1)	(1,2)	(3)
{3}	1	1	1
{2,1}	2	0	-1
{1,1,1}	1	-1	1

	(1,1,1,1)	(1,1,2)	(1,3)	(4)	(2,2)
{4}	1	1	1	1	1
{3,1}	3	1	0	-1	-1
{2,2}	2	0	-1	0	2
{2,1,1}	3	-1	0	1	-1
{1,1,1,1}	1	-1	1	-1	1

	(1,1,1,1,1)	(1,1,1,2)	(1,1,3)	(1,4)	(1,2,2)	(2,3)	(5)
{5}	1	1	1	1	1	1	1
{4,1}	4	2	1	0	0	-1	-1
{3,2}	5	1	-1	-1	1	1	0
{3,1,1}	6	0	0	0	-2	0	1
{2,2,1}	5	-1	-1	1	1	-1	0
{2,1,1,1}	4	-2	1	0	0	1	-1
{1,1,1,1,1}	1	-1	1	-1	1	-1	1

	(1,1,1,1,1,1)	(1,1,1,1,2)	(1,1,1,3)	(1,1,4)	(1,1,2,2)	(1,2,3)	(1,5)	(6)	(2,4)	(2,2,2)	(3,3)
{6}	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
{5,1}	5	3	2	1	1	0	0	-1	-1	-1	-1
{4,2}	9	3	0	-1	1	0	-1	0	1	3	0
{4,1,1}	10	2	1	0	-2	-1	0	1	0	-2	1
{3,3}	5	1	-1	-1	1	1	0	0	-1	-3	2
{3,2,1}	16	0	-2	0	0	0	1	0	0	0	-2
{2,2,2}	5	-1	-1	1	1	-1	0	0	-1	3	2
{3,1,1,1}	10	-2	1	0	-2	1	0	-1	0	2	1
{2,2,1,1}	9	-3	0	1	1	0	-1	0	1	-3	0
{2,1,1,1,1}	5	-3	2	-1	1	0	0	1	-1	1	-1
{1,1,1,1,1,1}	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1

ソース・プログラム

適当に作り始めたので、無駄が多いと思います。これから直してゆきたいです。メモ帳代わりに。 2012-7-25 異常値が入力された時に動作がおかしくなるので、少し修正しました。結果そのものは変わりません。

module m_Murnaghan_Nakayama
  implicit none
contains
  recursive integer function ichi(lambda, rho)
    integer, intent(in) :: lambda(:), rho(:)
    integer, allocatable :: lam(:)
    integer :: isgn
    ichi = 0
    if ( size(lambda) /= 0 .and. sum(lambda) == sum(rho) ) then  ! sum([]) = 0
      call standardize(lambda, isgn, lam) 
      if (isgn /= 0) ichi = isgn * ichi0(lam, rho)
    end if
    return
  end function ichi

  recursive integer function ichi0(lambda, rho)
    integer, intent(in) :: lambda(:), rho(:)
    integer :: i, lam(size(lambda))
    if ( lambda(1) == 0 ) then 
      ichi0 = 1
    else
      ichi0 = 0
      do i = 1, size(lambda)
        lam = lambda
        lam(i) = lam(i) - rho(1)
        ichi0 = ichi0 + ichi(lam, rho(2:)) ! rho == (0) --> rho == [] 
      end do
    end if
    return
  end function ichi0  
  
  recursive subroutine standardize(lambda, isgn, lam)
    integer, intent(in) :: lambda(:)
    integer, intent(out) :: isgn
    integer, intent(out), allocatable :: lam(:)
    integer, allocatable :: l(:)
    integer :: i, k
    logical :: no_swap
    isgn = 1
    lam = lambda
outer: do
      no_swap = .true.
      do k = size(lam), 2, -1 ! trailing zero cut
        if (lam(k) /= 0) exit
      end do
      l = lam(:k)
      if ( l(k) < 0 .or. any(l(2:) == l(1:) + 1) ) then ! minus at the end or  l_{i+1} = l_i + 1 
        lam = [integer::]
        isgn = 0
        return
      end if
      lam = l
      do i = 1, k - 1
        if ( l(i) < l(i + 1) ) then
          lam(i) = l(i + 1) - 1
          lam(i + 1) = l(i) + 1
          isgn = -isgn
          no_swap = .false.
        end if
      end do    
      if (no_swap) exit
    end do outer  
    return
  end subroutine standardize
end module m_Murnaghan_Nakayama

program MN
  use m_Murnaghan_Nakayama
  implicit none
  integer, allocatable :: lambda(:), rho(:)
!  integer :: i
!  call standardize([integer:: -1], i, rho)
!  print *, i, rho
!  stop

  rho = [1,1,1,1,1,1]
 ! rho = [1,1,1,1,2]
 ! rho = [1,1,1,3]
 ! rho = [1,1,4]
 ! rho = [1,1,2,2]
 ! rho = [1,2,3]
 ! rho = [1,5]
 ! rho = [6]
 ! rho = [2,4]
 ! rho = [2,2,2]
 ! rho = [3,3]
  lambda = [6]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [5,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [4,2]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [4,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,3]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,2,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,2,2]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,2,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,1,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [1,1,1,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)


  stop
  rho = [1,1,1,1,1]
  rho = [1,1,1,2]
  rho = [1,1,3]
  rho = [1,4]
  rho = [1,2,2]
  rho = [2,3]
  rho = [5]

  lambda = [5]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [4,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,2]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,2,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [1,1,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)

  
  stop
  rho = [2,2]
  lambda = [4]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [3,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,2]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [2,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  lambda = [1,1,1,1]
  print *, ichi(lambda, rho)
  stop
end program MN